أقدم إنذار اكتواري في تاريخ التأمين - بقلم د. شريف محسن

عزيزي القارئ، من خلال قراءتك لأول وهلة عنوان هذه المقالة، سوف يتبادر لذهنك مجموعة من الأسئلة تدول حول الأمور التالية:

من قدم هذا الإنذار ؟ ما هذ الإنذار ؟، ما هو تاريخ هذا الإنذار ؟

و قبل أن أجيبك على هذه الأسئلة أود أن أوضح لك ان مهنة الخبرة الإكتوارية  Actuarial Professionقد بدأت في الظهور في القرن السابع عشر من أجل القياس العلمي للأخطار التي يغطيها التأمين.

أما من قدم هذه الإنذار فهو عالم الرياضيات الفرنسي الشهير DE MOIVRE (1667 – 1754) في بدايات القرن الثامن عشر حيث أثبت أن شركة التأمين التي لا تقوم بإضافة مخصص Reserve لصالحها للسعر الذي تطلبه لمقابلة المدفوعات الطارئة Contingency Payments سوف تنهار في النهاية eventually be ruined

و بمعنى آخر فإن شركة التأمين يجب أن تضيف هامش أمان لقسط التأمين لحمايتها من الخسائر التي قد تحدث نتيجة التقلبات العشوائية Random Fluctuations.

و وفقًا لهذا الإنذار المقدم من DE MOIVRE فيجب أن يتكون القسط الصافي Net Premium من جزئين، و هما  قسط الخطر Risk Premium + مخصص الانحرافات Reserve for Deviations أو بمعنى آخر هامش الأمان Safety Margin

و يعرف قسط الخطر على أنه القسط الذي يقابل الخسارة المتوقعة Expected Loss للخطر المغطى مع تجاهل المصاريف الإدارية و العمولات و التحميلات الطارئة Contingency Loadings و لحسابة يتم تقدير معدل تكرار الخسارة و متوسط حجم الخسارة و بالتالي فإن قسط الخطر = معدل تكرار الخسارة × متوسط حجم الخسارة.

و لعل السؤال الذي يطرح نفسه الأن هل اكتفى DE MOIVRE  بتقديم هذا الإنذار فقط دون تقديم أداة إحصائية Yardstick تمكننا من حساب مخصص الانحرافات الذي يجب إضافته على قسط التأمين ؟

و الإجابة هي أن De Moivre قد قدم أيضًا في بدايات القرن الثامن عشر نظرية احصائية قوية تعرف بنظرية النهاية المركزية Central Limit Theorem، و يمكن صياغة هذه النظرية ببساطة كما يلي: إذا لم نكن نعلم نوع توزيع متغير عشوائي ما فنحن نعلم أن توزيع مجموع عدد كبير من هذا المتغير سوف يؤول في النهاية إلى التوزيع الطبيعي، و عندئذ يمكن استخدام جداول التوزيع الطبيعي Normal Distribution.

و هذه النظرية توضح لماذا يلعب التوزيع الطبيعي دورًا مركزياً في النظرية الإحصائية.

و بالطبع حلت برامج الحاسب الآلي في أيامنا هذه محل جداول التوزيع الطبيعي، حيث يمكن حساب الاحتمالات المختلفة الخاصة بالتوزيع الطبيعي من خلال برنامج Microsoft Excel المتاح للجميع.

عزيزي القارئ، و لتوضيح نظرية DE MOIVRE سأستعين ببيانات رسالة الدكتوراه الخاصة بالأستاذ الدكتور ممدوح حمزة أحمد أستاذ التأمين بكلية التجارة جامعة القاهرة و زميل الجمعية الأمريكية لإدارة الخطر و التأمين American Risk & Insurance Management Society FRIMS  

و قد كانت بعنوان استخدام التوزيعات الاحتمالية في تسعير التأمين مع التطبيق على تأمين السطو محلات تجارية، كلية التجارة جامعة القاهرة، 1990

مجموع الخسائر السنوية  Annual Aggregate Losses= 4024000 جم.

الانحراف المعياري Standard Deviation لمجموع الخسائر السنوية = 153164 جم.

مجموع مبالغ التأمين السنوية = 856170221 جم.

عدد الوثائق محل الدراسة = 18708 وثيقة.

و يلاحظ أن عدد الوثائق هنا كبير و بالتالي يمكن استخدام نظرية النهاية المركزية

و في ضوء نظرية العالم De Moivre لا يمكن الاعتماد على مجموع الخسائر السنوية فقط في التسعير، حيث لا يمكن طلب سعر قدره 0.47% = 4024000 ÷ 856170221  لأن هذا السعر سوف يؤدي إلى انهيار شركة التأمين في المدى الطويل بل يجب اضافة مخصص انحرافات لهذا السعر

و للتوضيح فإن القسط الصافي = مجموع الخسائر السنوية ÷ مجموع مبالغ التأمين.

في هذا البحث تم توفيق توزيع جاما Gamma Distribution لمجموع الخسائر السنوية هذا و قد تم تقدير مجموع الخسائر السنوية بدرجة ثقة 90% Degree of Confidence  بمبلغ 4220000 جم، و بالتالي فإن

 مخصص الانحرافات بدرجة ثقة 90% = 4220000 – 4024000 = 196000 جم

و بالتالي فإن سعر التأمين الصافي يجب أن يكون 0.49% = 4220000 ÷ 856170221.

أي أن سعر التأمين الصافي الواجب حسابه = مجموع الخسائر السنوية متضمن مخصص الانحرافات ÷ مجموع مبالغ التأمين السنوية.

باستخدام نظرية النهاية المركزية نجد أن تقدير مجموع الخسائر السنوية بدرجة ثقة 90% وفقًا للتوزيع الطبيعي هو 4220287 جم، و هو يكاد يكون متطابق مع تقدير مجموع الخسائر السنوية باستخدام توزيع جاما.

هذا و قد قمت من جانبي بتقدير مجموع الخسائر السنوية بدرجة ثقة 95% (مستوى معنوية 5% Significance Level) باعتباره البروتوكول الإحصائي السائد في وقتنا هذا فكانت النتائج كما يلي:

تقدير مجموع الخسائر السنوية وفقًا لتوزيع جاما عند مستوى معنوية 5% = 4280000 جم.

تقدير مجموع الخسائر السنوية وفقًا لنظرية النهاية المركزية عند مستوى معنوية 5%= 4276000 جم و هذا التقدير قريب جدا من نظيره المقدر عن طريق توزيع جاما.

سعر التأمين الصافي وفقًا لتوزيع جاما = 4280000 ÷ 856170221 = 0.5%

سعر التأمين الصافي وفقًا لنظرية النهاية المركزية = 4276000 ÷ 856170221 = 0.499% ≈ 0.5%

مخصص الانحرافات وفقًا لتوزيع جاما = 4280000 – 4024000 = 256000 جم.

مخصص الانحرافات وفقًا لنظرية النهاية المركزية = 4276000 – 4024000 = 252000 جم.

أي أن النتائج المستخرجة عن طريق توزيع جاما أو نظرية النهاية المركزية متقاربة.

و تكمن أهمية نظرية النهاية المركزية للعالم DE MOVRE أنها قدمت حلول  دقيقة لتقدير مخصص الانحرافات الواجب اضافته على قسط التأمين في بداية القرن الثامن العشر الميلادي في ظل غياب اختبارات جودة التوفيق   Goodness of Fit Tests التي تأخر ظهورها إلى بدايات القرن العشرين، حيث ظهر اختبار مربع كاي Qui Square Test على يد العالم الانجليزي Karl Pearson عام 1900 ثم تلاه اختبار كلموجروف سميرنوف Kolmogorov-Smirnov Test عام 1939  و لا تزال هذه النظرية راسخة حتى وقتنا هذا.

و أخيرًا و ليس آخرًا و ما دمنا نتحدث عن العلوم الاكتوارية، ستندهش عزيزي القارئ إذا علمت أن De Movire قد استطاع تحديد تاريخ وفاته بدقة في العام الذي توفي فيه أما كيف ذلك ؟، دعني أوضح لك:

تلاحظ للعالم DE MOVRE أنه يصاب بالإرهاق و أن عدد ساعات نومه يزداد كل يوم بمقدار 15 دقيقة، و بالتالي فسوف يقضي نحبه عندما تبلغ عدد ساعات نومه 24 ساعة و لن يستيقظ مرة أخرى في عالمنا ووفقًا لحساباته يحدث هذا في تاريخ 27 نوفمبر من عام 1754 ميلادية و قد حدث بالفعل !!!.

و توفي DE MOIVRE في تاريخ 27/11/1754 عن عمر يناهز 87 عام في لندن ودفن جثمانه في كنيسة  (St  Martin-in-the-Fields)   الأنجليكانية  English Anglican فيWestminster، وقد نقل جثمانه من هناك بعدها بمده إلى موطنه الأصلي فرنسا.

د.شريف محسن

نائب رئيس لجنة التأمين البحري / وحدات

نشرت هذه المقالة للدكتور شريف في العدد رقم 583 مجلة البيان الاقتصادية